$\frac{1}{x^4}$ kann man auch als $x^{-4}$ schreiben.

Also ist $\frac{1}{x^4}$ = $1·\frac{1}{x^4}$ das gleiche wie $x^{-4}$.

Eine 6-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{6}$} schreiben, also gilt hier: ${\left(\sqrt[6]{x}\right)}^5$ = ${\left(x^{\frac{1}{6}}\right)}^5$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

${\left(x^{\frac{1}{6}}\right)}^5$ = x^{$\frac{1}{6}$⋅5} = $x^{\frac{5}{6}}$

Eine 2-te Wurzel kann man immer auch als (...)^{$\frac{1}{2}$} schreiben, also gilt hier: $\frac{1}{\sqrt{x^3}}$ = $\frac{1}{{\left(x^3\right)}^{\frac{1}{2}}}$

Diese Doppelpotenz können wir nun mit dem Potenzgesetz weiter verrechnen:

$\frac{1}{{\left(x^3\right)}^{\frac{1}{2}}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}·3}}$ = $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ = $x^{-\frac{3}{2}}$

${81}^{\frac{1}{2}}$

= $\sqrt{81}$

= $9$

${\left(\frac{27}{64}\right)}^{\frac{1}{3}}$

= $\sqrt[3]{\frac{27}{64}}$

= $\frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{64}}$

= $\frac{3}{4}$

${\mathrm{0,008}}^{\frac{2}{3}}$

= ${\left(\sqrt[3]{\mathrm{0,008}}\right)}^2$

= ${\mathrm{0,2}}^2$

= $\mathrm{0,04}$

${\left(8^{-4}\right)}^{\frac{1}{3}}$

= $8^{-4·\frac{1}{3}}$

= $8^{\frac{1}{3}·\left(-4\right)}$

= ${\left(8^{\frac{1}{3}}\right)}^{-4}$

= $\frac{1}{{\left(\sqrt[3]{8}\right)}^4}$

= $\frac{1}{2^4}$

= $\frac{1}{16}$

Hier ist es eben wichtig, dass man die Potenzgesetze erkennt und dann rückwärts anwendet:

${(\sqrt[4]{x}·{\left(\sqrt[12]{x}\right)}^{15})}^6$

= ${(x^{\frac{1}{4}}\cdot x^{\frac{15}{12}})}^6$

= ${(x^{\frac{1}{4}}\cdot x^{\frac{5}{4}})}^6$

= ${\left(x^{\frac{1}{4}+\frac{5}{4}}\right)}^6$

= ${\left(x^{\frac{3}{2}}\right)}^6$

= $x^{\frac{3}{2}·6}$

= $x^9$

$\frac{\frac{8}{d^3}}{5d^{-4}}$

Zuerst schreiben wir die Potenzen mit negativen Hochzahlen in Bruchschreibweise um:

= $\frac{\frac{8}{d^3}}{\frac{5}{d^4}}$

Jetzt lösen wir den Doppelbruch auf, indem wir den Zähler mit dem Kehrbruch des Nenners multiplizieren:

= $\frac{8}{d^3}·\frac{d^4}{5}$

= $\frac{8}{5}d$