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Mitternachtsformel (alles links)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$2 x^{2} + 17 x + 35$ = 0

Lösung einblenden

$2 x^{2} + 17 x + 35$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{17^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 35}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{289 - 280}}{4}$

x_1,2 = $\frac{- 17 \pm \sqrt{9}}{4}$

x₁ = $\frac{- 17 + \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{- 17+3}{4}$ = $\frac{- 14}{4}$ = $- 3,5$

x₂ = $\frac{- 17 - \sqrt{9}}{4}$ = $\frac{- 17-3}{4}$ = $\frac{- 20}{4}$ = $- 5$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} + 17 x + 35$ = 0 |: $2$

$x^{2} + \frac{17}{2} x + \frac{35}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(\frac{17}{4})}^{2} - (\frac{35}{2})$ = $\frac{289}{16}$ $-$ $\frac{35}{2}$ = $\frac{289}{16}$ $-$ $\frac{280}{16}$ = $\frac{9}{16}$

x_1,2 = $- \frac{17}{4}$ ± $\sqrt{\frac{9}{16}}$

x₁ = $- \frac{17}{4}$ - $\frac{3}{4}$ = $- \frac{20}{4}$ = -5

x₂ = $- \frac{17}{4}$ + $\frac{3}{4}$ = $- \frac{14}{4}$ = -3.5

L={ $- 5$ ; $- 3,5$ }

quadr. Gleichung mit der p-q-Formel

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} + 19 x + 90$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + 19 x + 90$ = 0

D = ${(\frac{19}{2})}^{2} - 90$ = $\frac{361}{4}$ $-$ $90$ = $\frac{361}{4}$ $-$ $\frac{360}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $- \frac{19}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $- \frac{19}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $- \frac{20}{2}$ = -10

x₂ = $- \frac{19}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{18}{2}$ = -9

L = { $- 10$ ; $- 9$ }

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$1 + 2 x + x^{2}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} + 2 x + 1$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}$

x_1,2 = $\frac{- 2 \pm \sqrt{0}}{2}$

Da die Wurzel Null ist, gibt es nur eine Lösung:

x = $\frac{- 2}{2}$ = $- 1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = $1^{2} - 1$ = $1$ $-$ $1$ = $0$

Da die Diskriminante D = 0 ist, hat die quadratische Gleichung nur eine Lösunng.

x = $- 1$ ± 0 = $- 1$

L={ $- 1$ }

$- 1$ ist 2-fache Lösung!

quadr. Gl. p-q-Formel (erst sortieren)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 6 x - 16$ = $- x^{2}$

Lösung einblenden

$- 6 x - 16$ = $- x^{2}$ | - ( $- x^{2}$ )

$- 6 x - 16 + x^{2}$ = 0

sortieren

$x^{2} - 6 x - 16$ = 0

D = ${(- 3)}^{2} - (- 16)$ = $9$ $+$ $16$ = $25$

x_1,2 = $3$ ± $\sqrt{25}$

x₁ = $3$ - $5$ = -2

x₂ = $3$ + $5$ = 8

L = { $- 2$ ; $8$ }

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$x^{2} - \frac{1}{2} x - \frac{21}{2}$ = 0

Lösung einblenden

$x^{2} - \frac{1}{2} x - \frac{21}{2}$	=	0	\|⋅ 2
$2 (x^{2} - \frac{1}{2} x - \frac{21}{2})$	=	0

$2 x^{2} - x - 21$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 21)}}{2 \cdot 2}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{1 + 168}}{4}$

x_1,2 = $\frac{+ 1 \pm \sqrt{169}}{4}$

x₁ = $\frac{1 + \sqrt{169}}{4}$ = $\frac{1+13}{4}$ = $\frac{14}{4}$ = $3,5$

x₂ = $\frac{1 - \sqrt{169}}{4}$ = $\frac{1-13}{4}$ = $\frac{- 12}{4}$ = $- 3$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Um die Gleichung auf die Form "x² + px + q = 0" zu bekommen, müssen wir zuerst die ganze Gleichung durch " $2$ " teilen:

$2 x^{2} - x - 21$ = 0 |: $2$

$x^{2} - \frac{1}{2} x - \frac{21}{2}$ = 0

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{1}{4})}^{2} - (- \frac{21}{2})$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $\frac{21}{2}$ = $\frac{1}{16}$ $+$ $\frac{168}{16}$ = $\frac{169}{16}$

x_1,2 = $\frac{1}{4}$ ± $\sqrt{\frac{169}{16}}$

x₁ = $\frac{1}{4}$ - $\frac{13}{4}$ = $- \frac{12}{4}$ = -3

x₂ = $\frac{1}{4}$ + $\frac{13}{4}$ = $\frac{14}{4}$ = 3.5

L={ $- 3$ ; $3,5$ }

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 2 x^{2} - 9 x + 2$ = $(- 3 x - 2) \cdot (x + 3) + 5 x + 6$

Lösung einblenden

$- 2 x^{2} - 9 x + 2$	=	$(- 3 x - 2) \cdot (x + 3) + 5 x + 6$
$- 2 x^{2} - 9 x + 2$	=	$- 3 x^{2} - 11 x - 6 + 5 x + 6$
$- 2 x^{2} - 9 x + 2$	=	$- 3 x^{2} - 6 x$	\| $+ 3 x^{2}$ $+ 6 x$

$x^{2} - 3 x + 2$ = 0

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

eingesetzt in x_1,2 = $\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a \cdot c}}{2 a}$ ergibt:

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}$

x_1,2 = $\frac{+ 3 \pm \sqrt{1}}{2}$

x₁ = $\frac{3 + \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3+1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = $2$

x₂ = $\frac{3 - \sqrt{1}}{2}$ = $\frac{3-1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = $1$

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

vor dem Einsetzen in x_1,2 = $- \frac{p}{2}$ ± $\sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}$
berechnen wir zuerst die Diskriminante D = ${(\frac{p}{2})}^{2} - q$ :

D = ${(- \frac{3}{2})}^{2} - 2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $2$ = $\frac{9}{4}$ $-$ $\frac{8}{4}$ = $\frac{1}{4}$

x_1,2 = $\frac{3}{2}$ ± $\sqrt{\frac{1}{4}}$

x₁ = $\frac{3}{2}$ - $\frac{1}{2}$ = $\frac{2}{2}$ = 1

x₂ = $\frac{3}{2}$ + $\frac{1}{2}$ = $\frac{4}{2}$ = 2

L={ $1$ ; $2$ }

Nullprodukt 2

Beispiel:

Löse die folgende Gleichung:

$- 4 x^{2} - 7 x$ = 0

Lösung einblenden

$- 4 x^{2} - 7 x$	=	0
$- x \cdot (4 x + 7)$	=	0

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn mindestens einer der beiden Faktoren =0 ist.

1. Fall:

x₁

=

0

2. Fall:

$4 x + 7$	=	0	\| $- 7$
$4 x$	=	$- 7$	\|: $4$
x₂	=	$- \frac{7}{4}$ = -1.75

L={ $- \frac{7}{4}$ ; 0}

Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

Mitternachtsformel (alles links)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

quadr. Gleichung mit der p-q-Formel

Mitternachtsformel (erst sortieren)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

quadr. Gl. p-q-Formel (erst sortieren)

Mitternachtsformel (mit Durchmult.)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Mitternachtsformel (mit vereinfachen)

Lösen mit der a-b-c-Formel (Mitternachtsformel):

Lösen mit der p-q-Formel (x² + px + q = 0):

Nullprodukt 2