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Aufgabentypen anhand von Beispielen durchstöbern

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prozentale Änderung bestimmen

Beispiel:

Gib für die exponentielle Wachstumsfunktion f mit $\text{f(t)}=$ $70\cdot {\left(\frac{9}{10}\right)}^t$ die prozentuale Änderung pro Zeiteinheit an. Handelt es sich um prozentuale Zunahme oder um prozentuale Abnahme?

Lösung einblenden

f(0) = $70$

f(1) = $70$ ⋅ $\frac{9}{10}$

f(2) = $70$ ⋅ $\frac{9}{10}$ ⋅ $\frac{9}{10}$

f(3) = $70$ ⋅ $\frac{9}{10}$ ⋅ $\frac{9}{10}$ ⋅ $\frac{9}{10}$

f(4) = $70$ ⋅ $\frac{9}{10}$ ⋅ $\frac{9}{10}$ ⋅ $\frac{9}{10}$ ⋅ $\frac{9}{10}$

...

Mit jeder Zeiteinheit wird also der bisherige Funktionswert mit $\frac{9}{10}$ multipliziert. Da $\frac{9}{10}$ < 1 ist, werden die Funktionswerte mit jedem Zeitschritt kleiner, und zwar auf das $\frac{9}{10}$-fache (oder auf das $\frac{90}{100}$-fache), also auf $90$ % des vorherigen Funktionswertes.

Die prozentuale Abnahme beträgt also 100% - 90% = 10 %

c und a gegeben

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 9% seines Bestands. Zu Beginn sind 100kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind noch nach 4 Tagen da? b) Wann sind nur noch 40kg vorhanden?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=100 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Die prozentuale Abnahme um 9% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 9% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{9}{100}$⋅B = (1 - $\frac{9}{100}$) ⋅ B = 0,91 ⋅ B. Somit ist das a=0,91.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $100\cdot {\mathrm{0,91}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=4 Tage, also f(4):

f(4) = $100\cdot {\mathrm{0,91}}^4$ ≈ 68,575.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 40 kg ist, also f(t) = 40:

$100\cdot {\mathrm{0,91}}^t$	=	$40$	|:$100$
${\mathrm{0,91}}^t$	=	$\frac{2}{5}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,91}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{2}{5}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,91}\right)$	=	$\lg \left(\frac{2}{5}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,91}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{2}{5}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,91}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{9,7157}$

Nach ca. 9,716 Tage ist also der Bestand = 40 kg.

c und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Bei der Anzahl der Nutzer einer Internetseite kann man von exponentiellem Wachstum ausgehen. Zu Beginn der Aufzeichnung registriert man 3000 Nutzer. Nach 8 Wochen zählt man bereits 9177,07 Nutzer.a) Wie hoch ist nach diesem Modell die Anzahl der Nutzer nach 7 Wochen? b) Nach wie vielen Wochen ist die Anzahl der Nutzer auf 13000 angewachsen?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Den Anfangswert f(0)=c=3000 kann man direkt aus der Aufgabe heraus lesen.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $3000\cdot a^t$ mit einem Wachstumsfaktor a sein muss.

Der Wachstumsfaktor a ist zwar nicht gegeben, wir wissen aber, dass nach 8 Wochen der Bestand 9177.07 Nutzer ist, also f(8) = 9177.07. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $3000\cdot a^t$ ein:

$3000a^8$	=	$9\mathrm{177,07}$	|:$3000$
$a^8$	=	$\mathrm{3,05902}$	|
a1	=	$-\sqrt[8]{\mathrm{3,05902}}$	= $-\mathrm{1,15}$
a2	=	$\sqrt[8]{\mathrm{3,05902}}$	= $\mathrm{1,15}$

Da der Wachstumsfaktor a immer positiv sein muss, ist a= $\mathrm{1,15}$ ≈ 1.15 die einzige sinnvolle Lösung.

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $3000\cdot {\mathrm{1,15}}^t$.

zu a)

Gesucht ist die Anzahl der Nutzer zum Zeitpunkt t=7 Wochen, also f(7):

f(7) = $3000\cdot {\mathrm{1,15}}^7$ ≈ 7980,06.

zu b)

Hier wird gefragt, wann die Anzahl der Nutzer = 13000 Nutzer ist, also f(t) = 13000:

$3000\cdot {\mathrm{1,15}}^t$	=	$13000$	|:$3000$
${\mathrm{1,15}}^t$	=	$\frac{13}{3}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{1,15}}^t\right)$	=	$\lg \left(\frac{13}{3}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{1,15}\right)$	=	$\lg \left(\frac{13}{3}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{1,15}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\frac{13}{3}\right)}{\lg \left(\mathrm{1,15}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{10,4917}$

Nach ca. 10,492 Wochen ist also die Anzahl der Nutzer = 13000 Nutzer.

a und ein Funktionswert gegeben

Beispiel:

Ein radioaktives Element verliert jeden Tag 4% seines Bestands. 2 Tage nach Beobachtungsbeginn sind nur noch 18,43kg dieses Elements vorhanden. a) Wie viel kg des Elements sind 13 Tage nach Beobachtungsbeginn vorhanden? b) Wann sind nur noch 12,8kg vorhanden?

Lösung einblenden

Da es sich hier um exponentielles Wachstum handelt, muss der Funktionsterm von der Form $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ sein.

Die prozentuale Abnahme um 4% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt vom alten Bestand noch 4% weggehen,
also B_neu = B - $\frac{4}{100}$⋅B = (1 - $\frac{4}{100}$) ⋅ B = 0,96 ⋅ B. Somit ist das a=0,96.

Somit wissen wir bereits, dass der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,96}}^t$ mit einem Anfangswert c sein muss.

Wir kennen zwar den Anfangswert f(0)=c nicht, wissen aber, dass nach 2 Tage der Bestand 18.43 kg ist, also f(2) = 18.43. Dies setzen wir in unsern bisherigen Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{0,96}}^t$ ein:

c ⋅ 0.96² = 18.43

c ⋅ 0.9216 = 18.43 | : 0.9216

c = 20

Damit ergibt sich der Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $20\cdot {\mathrm{0,96}}^t$.

zu a)

Gesucht ist der Bestand zum Zeitpunkt t=13 Tage, also f(13):

f(13) = $20\cdot {\mathrm{0,96}}^{13}$ ≈ 11,764.

zu b)

Hier wird gefragt, wann der Bestand = 12.8 kg ist, also f(t) = 12.8:

$20\cdot {\mathrm{0,96}}^t$	=	$\mathrm{12,8}$	|:$20$
${\mathrm{0,96}}^t$	=	$\mathrm{0,64}$	|lg(⋅)
$\lg \left({\mathrm{0,96}}^t\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,64}\right)$
$t·\lg \left(\mathrm{0,96}\right)$	=	$\lg \left(\mathrm{0,64}\right)$	|: $\lg \left(\mathrm{0,96}\right)$
$t$	=	$\frac{\lg \left(\mathrm{0,64}\right)}{\lg \left(\mathrm{0,96}\right)}$

$t$

=

$\mathrm{10,9325}$

Nach ca. 10,933 Tage ist also der Bestand = 12.8 kg.

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit bestimmen

Beispiel:

Gegeben ist der Exponentialfunktion f mit $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,068}}^t$ mit unbekanntem Anfangswert c.

Bestimme die Verdopplungszeit.

Lösung einblenden

Den Wachstumsfaktor a kann direkt aus dem Funktionterm $\text{f(t)}=$ $c·{\mathrm{1,068}}^t$ ablesen: a=1.068.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.068($2$) ≈ 10.54 (Zeiteinheiten)

Halbwerts-/Verdoppl.-Zeit (Anwendung)

Beispiel:

Bei einer Internetseite kann man davon ausgehen, dass sich die Anzahl der Nutzer wöchentlich um 18% vermehrt. Wie lange braucht es, bis sich die Nutzerzahl verdoppelt hat?

Lösung einblenden

Die prozentuale Zunahme um 18% bedeutet ja, dass mit jedem Zeitschritt zum alten Bestand noch 18% dazukommen,
also B_neu = B + $\frac{18}{100}$⋅B = (1 + $\frac{18}{100}$) ⋅ B = 1,18 ⋅ B.

Somit gilt für den Wachstumsfaktor a (in $\text{f(t)}=$ $c·a^t$): a=1,18.

Mit der Formel für die Verdopplungszeit gilt: T_V = log_a(2).

Also T_V = log_1.18($2$) ≈ 4.19 Wochen

Exponentialterm mit Halbwertszeit best.

Beispiel:

Von einem radioaktiven Element mit einer Halbwertszeit von 5,9 Jahren sind zu Beobachtungsbeginn 70kg vorhanden. Bestimme den Funktionsterm der Exponentialfunktion, die die Masse des radioaktiven Elements nach t Jahren angibt.

Lösung einblenden

Von der allgemeinen Exponentialfunktion $\text{f(t)}=$ $c·a^t$ können wir den Anfangswert c = 70 direkt der Aufgabe entnehmen.

Um nun noch den Wachstumsfaktor a zu bestimmen, nutzen wir die Formel für die Halbwertszeit: T_H = log_a($\frac{1}{2}$).

Also 5.9 = log_a($\frac{1}{2}$). Nach der Definition des Logarithmus ist dies gleichbedeutend mit

$a^{\mathrm{5,9}}$	=	$\frac{1}{2}$	|
$a$	=	${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{5,9}}}$

Das gesuchte a ist somit ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{\mathrm{5,9}}}$ ≈ 0.89, der gesuchte Funktionsterm $\text{f(t)}=$ $70\cdot {\mathrm{0,89}}^t$