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Zylinder V und O
Beispiel:
Ein Zylinder hat den Durchmesser 78 cm und die Höhe h = 10 cm. Bestimme sein Volumen und seine Oberfläche.
Zuerst müssen wir den Radius als halben Durchmesser berechnnen: r = cm = 39cm
Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2
G = π ⋅ 392 cm² ≈ 4778,36 cm²
Für das Volumen müssen wir nun noch G = 4778.36 cm² mit der Höhe h = 10 cm multiplizieren:
V = G ⋅ h ≈ 4778.36 cm² ⋅ 10 cm ≈ 47783,62 cm³
Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 10 cm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅39 cm ≈ 245.04 cm
Somit gilt für die Oberfläche:
O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 4778.36 cm² + 10 cm ⋅ 2π ⋅ 39 cm
≈ 9556.72 cm² + 10 cm ⋅ 245.04 cm
≈ 9556.72 cm² + 2450.44 cm²
≈
12007,17 cm²
Zylinder rückwärts (einfach)
Beispiel:
Ein Zylinder hat das Volumen V = 377 cm³ = und den Radius r = 4 cm. Bestimme den Oberflächeninhalt O dieses Zylinders.
Um den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch die Höhe h bestimmen. Hierfür nutzen wir das gegebene Volumen V.
Wir schreiben also einfach die Formel für das gegebene Volumen V auf und setzen alle gegebenen Größen ein.
V = G ⋅ h = π ⋅ r2 ⋅ h, also
π ⋅ r2 ⋅ h = V
alle gegebenen Größen eingesetzt:
= 377
Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach h auf:
=
| = | |: | ||
| = |
Wir erhalten also h = 7.5 und können nun damit den gesuchten Oberflächeninhalt O berechnen.
Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2
G = π ⋅ 42 cm² ≈ 50,27 cm²
Für die Oberfläche brauchen wir zwei mal die Grundfläche G für die obere und untere Seite (wenn der Zylinder senkrecht steht) und den Mantel, der die Form eines Rechtecks hat, bei dem eine Seite die Höhe h = 7.5 cm und die andere Seite der Umfang der kreisförmigen Grundfläche ist, also U = 2π⋅r = 2π⋅4 cm ≈ 25.13 cm
Somit gilt für die Oberfläche:
O = 2⋅G + M = 2⋅G + h⋅U
≈ 2⋅ 50.27 cm² + 7.5 cm ⋅ 2π ⋅ 4 cm
≈ 100.53 cm² + 7.5 cm ⋅ 25.13 cm
≈ 100.53 cm² + 188.5 cm²
≈
289,03 cm²
Zylinder rückw. (alle Möglichk.)
Beispiel:
Ein Zylinder hat den Mantelflächeninhalt M = 320.4 m² = und die Höhe h = 8.5 m. Bestimme das Volumen V dieses Zylinders.
Um das gesuchte Volumen V berechnen zu können, benötigen wir den Radius r und die Höhe h. Wir müssen also zuerst noch den Radius r bestimmen. Hierfür nutzen wir den gegebenen Mantelflächeninhalt M.
Wir schreiben also einfach die Formel für den gegebenen Mantelflächeninhalt M auf und setzen alle gegebenen Größen ein.
M = U ⋅ h = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h, also
2π ⋅ r ⋅ h = M
alle gegebenen Größen eingesetzt:
= 320.4
Jetzt verrechnen wir die Werte und lösen nach r auf:
=
| = | |: | ||
| = |
Wir erhalten also r = 6 und können nun damit das gesuchte Volumen V berechnen.
Wir wenden die Kreisformel für die Bestimmung des Flächeninhalts der Grundfläche an:
G = π ⋅ r2
G = π ⋅ 62 m² ≈ 113,1 m²
Für das Volumen müssen wir nun noch G = 113.1 m² mit der Höhe h = 8.5 m multiplizieren:
V = G ⋅ h ≈ 113.1 m² ⋅ 8.5 m ≈ 961,33 m³
Zylinder Anwendungen
Beispiel:
Einen 5 m lange Dachrinne hat einen halbkreisförmigen Querschnitt und ist inklusiv ihres Randes 16 cm breit (Durchmesser des Halbkreises). Die Dachrinne ist aus einem 0,48 cm dicken Blech mit einer Dichte von 8 g/cm³ gefertigt. Wie schwer ist die Dachrinne?
Der Durchmesser des gesamten Halbzylinders ist ja mit d = 16 cm gegeben, also ist der äußere Radius r = 8 cm.
Da die Dicke des halben Hohlylinders 0,48 cm ist, muss also der innere Radius rin = 7,52 cm sein.
Dadurch ergibt sich für den Flächeninhalt des Querschnitts des halben Hohlylinders:
G = Aout - Ain = π r2 - π rin2 =
= π (8 cm)2 - π (7,52
cm)2
= 100,531 cm2 - 88,829 cm2
=
11,702 cm2
Damit können wir das Volumen des Hohlzylinders berechnen. Dazu multiplizieren wir einfach den Flächeninhalt des Kreisrings mit der Höhe des halben Hohlzylinders h = 500 cm:
V = 11,702 cm2 ⋅ 500 cm = 5851 cm3
Die gesuchte Masse erhalten wir nun noch durch Multiplizieren mit der Dichte 8 g/cm3:
m = 5851 cm3 ⋅ 8 g/cm3 = 46808 g = 46,808 kg.