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Zweisatz rückwärts

Beispiel:

Ein Käseaufschnitt wiegt insgesamt 320 g. Er besteht aus 8 gleichen Scheiben.

Wie schwer ist dann 1 Scheibe Käse?

Zuerst stellen wir den Sachverhalt in einer Tabelle dar:

8 Scheiben Käse	320 g
1 Scheibe Käse	?

Um von 8 Scheiben Käse in der ersten Zeile auf 1 Scheiben Käse in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 8 teilen. Somit müssen wir auch die 320 g durch 8 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 1 Scheiben Käse entspricht:

: 8

8 Scheiben Käse	320 g
1 Scheibe Käse	?

: 8

8 Scheiben Käse	320 g
1 Scheibe Käse	40 g

: 8

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 1 Scheiben Käse entspricht: 40 g

Dreisatz-Tabelle (andere Zwischengröße)

Beispiel:

Die Tabelle zeigt Werte von zwei Größen mit einem proportionalen Zusammenhang. Übertrage die Tabelle in dein Heft und berechne mit dem Dreisatz die fehlende Größen.

24 Becher Joghurt	10800 g
?	?
20 Becher Joghurt	?

Lösung einblenden

Wir suchen einen möglichst großen Zwischenwert für die Becher Joghurt in der mittleren Zeile. (Denn je größer diese Zahl ist, umso kleiner ist die Zahl, durch die wir die 24 Becher Joghurt teilen müssen.) Diese Zahl sollte ein Teiler von 24 und von 20 sein, also der ggT(24,20) = 4.

Wir suchen deswegen erst den entsprechenden Wert für 4 Becher Joghurt:

24 Becher Joghurt	10800 g
4 Becher Joghurt	?
20 Becher Joghurt	?

Um von 24 Becher Joghurt in der ersten Zeile auf 4 Becher Joghurt in der zweiten Zeile zu kommen, müssen wir durch 6 teilen. Somit müssen wir auch die 10800 g durch 6 teilen, um auf den Wert zu kommen, der den 4 Becher Joghurt entspricht:

: 6

24 Becher Joghurt	10800 g
4 Becher Joghurt	?
20 Becher Joghurt	?

: 6

(Beim Teilen durch 6 kann man einfach erst durch 2 und dann durch 3 teilen - oder erst eine 6-er Zahl in der Nähe suchen, hier 6000, und dann noch den Rest (4800) durch 6 teilen.)

: 6

24 Becher Joghurt	10800 g
4 Becher Joghurt	1800 g
20 Becher Joghurt	?

: 6

Jetzt müssen wir ja wieder die 4 Becher Joghurt in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren, um auf die 20 Becher Joghurt in der dritten Zeile zu kommen.

: 6

⋅ 5

24 Becher Joghurt	10800 g
4 Becher Joghurt	1800 g
20 Becher Joghurt	?

: 6

⋅ 5

Wir müssen somit auch rechts die 1800 g in der mittleren Zeile mit 5 multiplizieren:

: 6

⋅ 5

24 Becher Joghurt	10800 g
4 Becher Joghurt	1800 g
20 Becher Joghurt	9000 g

: 6

⋅ 5

Damit haben wir nun den gesuchten Wert, der den 20 Becher Joghurt entspricht: 9000 g

Proportionaler Term

Beispiel:

Bei zwei propotionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 2 wenn die Größe B den Wert 6.4 hat.
Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Wert der Größe A einen Wert der Größe B zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Größe B', nämlich 6.4 durch den Wert von 'Größe A' (2) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{2}$ des Wertes bei 2 sein muss.
Also: m= $\frac{6.4}{2}$ = $3,2$
Zuordnungsvorschrift: y = $3,2$ ⋅ x

Proportionaler Term Anwendung

Beispiel:

Eine Verpackungsmachine kann in 8 Minuten 18,4 Kartons verpacken. Bestimme die Zuordnungsvorschrift, mit der man jedem Minuten-Wert eine Anzahl der verpackten Kartons zuordnen kann.

Lösung einblenden

Um den Proportionalitätsfaktor zu finden, muss man lediglich den Wert von 'Kartonanzahl', nämlich 18.4 durch den Wert von 'Verpackungszeit' (8) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{8}$ des Wertes bei 8 sein muss.
Also: m= $\frac{18.4}{8}$ = $2,3$
Zuordnungsvorschrift: y = $2,3$ ⋅ x

Wert bei Proportionalität finden

Beispiel:

Bei zwei proportionalen Größen A und B hat die Größe A den Wert 7, wenn die Größe B den Wert 12.6 hat.
Bestimme Zuordnungsvorschrift mit der man Werte der Größe A, Werte der Größe B zuordnen kann.
Welchen Wert nimmt die Größe A ein, wenn die Größe B den Wert 15.3 hat?

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 12.6 = m⋅7.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Größe B, nämlich 12.6 durch den Wert von Größe A (7) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{7}$ des Wertes bei 7 sein muss.
Also: m= $\frac{12.6}{7}$ = $1,8$
Zuordnungsvorschrift: y = $1,8$ ⋅ x

x-Wert bei y = 15.3

Da der/die Größe B den Wert 15.3 hat, muss man 15.3 für y in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als x den zugehörigen Wert von Größe A zu erhalten:
15.3 = $1,8$ ⋅ x.
Das klappt mit x = $\frac{15.3}{1.8}$ , weil dann 15.3 = $1,8$ ⋅ $\frac{15.3}{1.8}$ .
Somit gilt für x (Größe A) = $\frac{15.3}{1.8}$ = 8.5.

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)

Beispiel:

Eine Verpackungsmachine kann 7 Kartons in 5,6 Sekunden verpacken. Bestimme die Zuordnungsvorschrift mit der man die Anzahl der verpackten Kartons der Verpackungszeit in Sekunden zuordnen kann.

Lösung einblenden

Da es sich hier um eine proportionale Zuordnung handelt, ist die Zuordnungsvorschrift y=m⋅x. Wenn man die Werte aus der Aufgabe einsetzt, so erhält man: 5.6 = m⋅7.

Um den Proportionalitätsfaktor m zu finden, muss man also lediglich den Wert von Verpackungszeit, nämlich 5.6 durch den Wert von Kartonanzahl (7) teilen. Schließlich gilt bei proportionalen Größen, dass der Wert bei 1 gerade $\frac{1}{7}$ des Wertes bei 7 sein muss.
Also: m= $\frac{5.6}{7}$ = $0,8$
Zuordnungsvorschrift: y = $0,8$ ⋅ x

y-Wert bei x = 3.5

Da der/die Kartonanzahl den Wert 3.5 hat, muss man einfach 3.5 für x in den Proportionalitäts-Term einsetzen, um als y den zugehörigen Wert von Verpackungszeit zu erhalten:
y= $0,8$ ⋅ 3.5 = 2.8

.

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Dreisatz-Tabelle (andere Zwischengröße)

Proportionaler Term

Proportionaler Term Anwendung

Wert bei Proportionalität finden

Wert bei Proportionalität (Anwendungen)